diciembre 8, 2009
MOVIMIENTO APARENTE DE LOS CUERPOS CELESTES
El movimiento aparente de las estrellas en torno al Polo se traduce en un giro de radio muy grande para astros situados a gran distancia angular del Polo. El ángulo formado por las direcciones que unen el punto de observación con el Polo celeste, y el punto de observación con el astro, se denomina distancia polar del astro. Así, para astros cuya distancia polar es pequeña, su radio de giro es pequeño, haciendo pequeña la circunferencia que describen.
noviembre 30, 2009
CINETICA DE CUERPOS RIGIDOS EN TRES DIMENCIONES
CUERPO RIGIDO
Un cuerpo rígido es un sistema dinámico, que no presenta deformaciones entre sus partes, ante la acción de fuerzas. Matemáticamente se define como cuerpo rígido aquel en que la distancia entre sus puntos cualesquiera del cuerpo, permanece invariable. En estricto rigor, todos los cuerpos presentan un grado de deformación. Sin embargo, la suposición de rigidez total es aceptable cuando las deformaciones son de magnitud despreciable frente a los desplazamientos del cuerpo rígido y no afecta la respuesta del cuerpo ante las acciones externas.
MOVIMIENTO Y PRODUCTO DE INERCIA
El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:
I=mr2
Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
I=sumatoria(mi r2i)
Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton a=F/m: tiene como equivalente para la rotación:
T=Ia
MOVIMIENTO ANGULAR
Un movimiento circular es aquel en el que la unión de las sucesivas posiciones de un cuerpo a lo largo del tiempo (trayectoria) genera una cuerva en la que todos sus puntos se encuentran a la misma distancia R de un punto llamado centro.
Este tipo de movimiento puede ser, al igual que el rectilíneo, uniforme o acelerado. En el primer cado el movimiento circunferencial mantiene constante el modulo de la velocidad, no así su dirección y el sentido. De hecho para que el móvil pueda describir una curva, debe cambar en todo instante la dirección de su sentido y velocidad. Bajo este concepto siempre existe aceleración en un movimiento circunferencial, pues siempre cambia la velocidad en el tiempo, lo que no debemos confundir, es que si un movimiento circular es uniforme es porque su rapidez es constante.
MOVIMIENTO DE UN GIROSCOPIO
El giroscopio o giróscopo es un dispositivo mecánico formado esencialmente por un cuerpo con simetría de rotación que gira alrededor de su eje de simetría. Cuando se somete el giroscopio a un momento de fuerza que tiende a cambiar la orientación del eje de rotación su comportamiento es aparentemente paradójico ya que el eje de rotación, en lugar de cambiar de dirección como lo haría un cuerpo que no girase, cambia de orientación en una dirección perpendicular a la dirección «intuitiva».
De acuerdo con la mecánica del sólido rígido, además de la rotación alrededor de su eje de simetría, un giróscopo presenta en general dos movimientos principales: la precesión y la nutación. Este hecho se deduce directamente de las ecuaciones de Euler.
Precesión
Cuando se aplica un momento Ma un cuerpo en rotación cuyo momento angular es L, la dirección del eje de rotación del cuerpo se anima de un movimiento de rotación de velocidad angular W. Esta velocidad angular, llamada velocidad de precesión, está relacionada con el momento y el momento angular por la fórmula:
M=W x L
La velocidad de presesión, como todas las velocidades angulares se mide en radianes/segundo. En módulo, la velocidad de presesión es igual a W=M/L. Es decir, para una misma cantidad de momento, la magnitud de la velocidad de presesión es tanto más pequeña cuanto el momento angular sea más grande. Y como el momento angular es el producto de la velocidad de rotación del giroscopio multiplicada por su momento de inercia, se puede reducir la velocidad de precesión aumentando el momento de inercia, la velocidad de rotación o ambas.
Aquí encontramos el interés de utilizar un giroscopio para conservar una referencia de dirección. Partiendo del reposo, todos los cuerpos conservan la orientación que tienen salvo cuando se les aplican momento externos. En ese caso, cuando un cuerpo no gira, el efecto del momento es el de crear una aceleración angular, la cual crea una velocidad angular creciente. Cuando el momento se interrumpe, el objeto sigue girando con la velocidad angular que adquirió. En cambio, cuando el mismo momento se aplica a un objeto en rotación, este comienza a girar con la velocidad de precesión calculada antes. Y cuando el momento se interrumpe, la precesión del objeto también se interrumpe. El resultado es que, en un giroscopio, los momentos parásitos tienen mucho menos efecto a largo plazo que en un objeto sin rotación. Además, se puede disminuir el efecto de esos momentos, aumentando el momento de inercia y la velocidad de rotación del giroscopio.
Nutación
Cuando el momento que causa la precesión cambia de valor, la velocidad de precesión también cambia de valor. Pero ese cambio no sucede instantáneamente. Hay un periodo de transición durante el cual el giroscopio «cede» un poquito al momento en la misma dirección que un objeto que no gira. Después el giroscopio recobra lo que había cedido, oscilando en la dirección del momento alrededor de la trayectoria de precesión final.
Este movimiento de oscilación transitorio se llama nutación.
Si el cambio de valor de los momentos se prolonga, la nutación puede durar mucho. Es el caso de la tierra. La atracción de la luna y del sol sobre el hinchamiento de la tierra en el ecuador es diferente entre el lado próximo y el lado lejano respecto al astro. Esa diferencia de atracción crea un momento, el cual causa la precesión de los equinoccios. Pero, como ni el sol ni la luna están en el plano del ecuador terrestre, el momento producido por estos astros cambia periódicamente y el movimiento de nutación de la tierra no se amortigua.
noviembre 29, 2009
CINEMATICA DE UN CUERPO RIGIDO EN TRES DIMENSIONES
CINEMATICA DE UN CUERPO RIGIDO EN TRES DIMENSIONES
CUERPO RIGIDO
Un cuerpo rígido es un sistema dinámico, que no presenta deformaciones entre sus partes, ante la acción de fuerzas. Matemáticamente se define como cuerpo rígido aquel en que la distancia entre sus puntos cualesquiera del cuerpo, permanece invariable. En estricto rigor, todos los cuerpos presentan un grado de deformación. Sin embargo, la suposición de rigidez total es aceptable cuando las deformaciones son de magnitud despreciable frente a los desplazamientos del cuerpo rígido y no afecta la respuesta del cuerpo ante las acciones externas.
ROTACION
Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante del eje de rotación.
Una rotación pura de un cuerpo queda representada mediante el vector velocidad angular, que es un vector de carácter deslizante, W situado sobre el eje de rotación.
En este movimiento, las partículas que constituyen el cuerpo rígido se desplazan en planos paralelos, a lo largo de círculos centrados en el mismo eje fijo. Si ese eje, llamado eje de rotación, intercepta al cuerpo rígido, las partículas localizadas en el eje, tienen velocidad y aceleración cero. Como cada particular se mueve en un plano dado, se dice que la rotación de un cuerpo con respecto a un eje fijo es un movimiento plano.
DERIVADAS DE UN VECTOR DE ROTACION Y TRASLACION
Definimos la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega α y, al igual que la velocidad angular, tiene carácter vectorial. Por definición,
(1) α = dw/dt
Siendo W el vector velocidad angular del sólido rígido alrededor del eje de rotación. La aceleración angular se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional.
Si denominamos por “e” al vector asociado al eje de rotación, de modo que sea w=we, podemos escribir
(2) α = (dw/dt) = {(d/dt)(we)} =[ {(dw/dt)(e)}+{(w)(de/dt)}]
Resultando que, en general, el vector W no está localizado sobre el eje de rotación.
En el caso particular de que el eje de rotación mantenga una orientación fija en el espacio (movimiento plano), entonces será (de/dt=0) y el vector aceleración angular α estará localizado sobre el eje de rotación. Esto es,
(3) α = (dw/dt) = {(dw/dt)(e)} = α e
de modo que el módulo de la aceleración angular, |α| = α es la derivada de la celeridad angular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo), su dirección es la del eje de rotación y su sentido es el de W cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo, pero es de sentido opuesto si disminuye.
En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija en el espacio, será (de \ dt) ≠ 0, aunque |e| = 1, ya que el vector del eje cambia de dirección en el transcurso del movimiento. Puesto que “e” es un vector, su derivada será un vector perpendicular a , esto es, al eje instantáneo de rotación.
Así pues, en el caso más general, la aceleración angular α se expresará en la forma
(4) α = (dw/dt) = [{(d/dt)(e)} + Ω x w ]
Siendo Ω la velocidad angular asociada a la rotación del eje o precesión del eje de rotación (definido por “e”) en el espacio.
En la expresión anterior observaremos que el vector aceleración angular tiene dos componentes: una componente longitudinal (i.e., en la dirección del eje de rotación) cuyo módulo es (dw\dt) y una componente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es Ω x W.
Así pues, en general,
El vector α no tendrá la misma dirección que el vector W.
El vector aceleración angular α no tendrá la dirección del eje de rotación.
La dirección de la aceleración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el eje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio, esto es, en el movimiento plano.
ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO, EMPLEADO EJES DE ROTACION Y TRASLACION
Movimiento relativo, cambio de posición respecto de un sistema de referencia que a su vez se mueve respecto a otro sistema de referencia. No se puede hablar de un sistema de referencia absoluto ya que no se conoce un punto fijo en el espacio que pueda ser elegido como origen de dicho sistema. Por tanto, el movimiento tiene carácter relativo.
Cuando un cuerpo se mueve sobre la superficie de la Tierra está sometido a dos fuerzas la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis.
La fuerza de Coriolis es la responsable de la rotación del plano del péndulo de Foucault, la circulación del aire alrededor de los centros de baja o alta presión, la desviación de la trayectoria de proyectiles de largo alcance, la rotación del agua cuando sale por el desagüe de la bañera, etc.
La fuerza centrífuga es responsable del cambio en el módulo y en la dirección de la aceleración de la gravedad a distintas latitudes.
Las fuerzas reales como la fuerza que ejerce un muelle, la fuerza de atracción gravitatoria, las fuerzas eléctricas o magnéticas son las que describen las interacciones entre los cuerpos. Las fuerzas de inercia solamente se observan en sistemas de referencia acelerados, para distinguirlas de las fuerzas reales se denominan también fuerzas ficticias o pseudofuerzas.
La introducción de este tipo de fuerzas junto con las reales facilita la resolución de los problemas de Mecánica en los sistemas de referencia en movimiento relativo de rotación uniforme como la Tierra.
Las fórmulas que relacionan la velocidad v’ y de la aceleración a’ medidas en el sistema no inercial con la velocidad v y aceleración a medidas en el sistema inercial son las siguientes:
(v´ = v-w x r) y (v´ = a -2w x v´-w x (w x r))
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